Gymnasium Leichlingen

Komplexe Zahlen

0. Grundlagen

Ähnlich wie den reellen Zahlen die Punkte der Zahlengeraden entsprechen, ordnet man umkehrbar eindeutig jedem Punkt der Ebene eine komplexe Zahl zu. Da sich jeder Punkt (nach Festlegung eines Koordinatensystems) wahlweise durch kartesische Koordinaten oder durch Polarkoordinaten beschreiben lässt, kann man jede komplexe Zahl auf zwei verschiedene Weise darstellen:

Einerseits ist jeder Punkt z durch seine Koordinaten festgelegt, hat also eine Darstellung der Form z = ( a | b ); andererseits kann man den Punkt z durch seinen Abstand r vom Ursprung und die Größe des Winkels EOz beschreiben, wobei E der Einheitspunkt, also der Punkt mit dem Koordinatenpaar ( 1 | 0 ) ist. Zur besseren Unterscheidung werden die Polarkoordinaten hier durch spitze Klammern gekennzeichnet.

Offensichtlich gelten dann z.B. die folgenden Gleichungen:

( 0 | 2 ) = < 90° | 2 > , ( - 3 | 0 ) = < 180° | 3 > .

Die kartesischen Koordinaten des zur komplexen Zahl z gehörenden Punktes werden als Realteil von z bzw. als Imaginärteil von z bezeichnet, abgekürzt Re(z) und Im(z),
also ist z = ( Re(z) | Im(z) ).

Die Polarkoordinaten des zur komplexen Zahl z gehörenden Punktes werden als Argument von z bzw. als Betrag von z bezeichnet, abgekürzt arg(z) und |z| ,
also ist z = < arg(z) | |z| >.

Die Addition von zwei komplexen Zahlen wird mit Hilfe der Darstellung mit Real- und Imaginärteil erklärt:

Re( w + z ) = Re(w) + Re(z); Im(w + z) = Im(w) + Im(z);

also ist ( a₁ | a₂ ) + ( b₁ | b₂ ) = ( a₁ + b₁ | a₂ + b₂ ) .

Geometrisch entspricht die Durchführung der Addition der Bildung der Resultierenden in einem Kräfteparallelogramm: Man gelangt von z zu z+w, indem man z um den Pfeil von O nach w verschiebt.

Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen wird mit Hilfe der Darstellung mit Argument und Betrag erklärt:

arg( w * z ) = arg(w) + arg(z); | w * z | = | w | * | z |;

also ist < alpha | r > * < beta | s > = < alpha + beta | r * s > .
Dabei wird die Addition modulo 360° durchgeführt; zwischen Winkelgrößen, die sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 360° unterscheiden, wird kein Unterschied gemacht.

Geometrisch entspricht die Durchführung der Multiplikation einer Drehstreckung des Dreiecks OEz um den Ursprung mit dem Drehwinkel arg(w) und dem Streckfaktor |w|. Man konstruiert z*w, indem man an OZ in O den Winkel arg(w) anträgt und an Ow in w den Winkel OEz anträgt. Man erhält dann z *w als Schnittpunkt der freien Schenkel der beiden angetragenen Winkel.

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Mit der oben definierten Addition und Multiplikation bildet die Menge C einen kommutativen Körper.

1. Übungen zum Rechnen mit komplexen Zahlen

1.1 Wiederholungsübungen

Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Ergebnisse der folgenden Aufgaben

a) ( 2 | -1 ) + ( 1 | 3 ) ,

b) < 30° | 2 > * < 20° | 3 > ,

c) ( 1 | 1 ) * < 30° | 2 > ,

d) < 45° | 2 > + < 30° | 3 > ,

e) ( 3 | -4 ) * ( 0 | 2 ) ,

f) ( 2 | -3 ) * ( 2 | 3 ) .

1.2. Weiterführende Übungen

Löse die folgenden Gleichungen

a) ( 2 | -1 ) + z = ( -1 | 3 ) ,

b) < 30° | 2 > * z = < 20° | 30 > ,

c) ( 1 | 1 ) * z = < 30° | 2 > ,

d) < 45° | 2 > + z = < 30° | 3 > .

Und jetzt wird es etwas (aber nur etwas) schwieriger, denn jetzt braucht man die folgende Produktregel:
( a₁ | a₂ ) * ( b₁ | b₂ ) = ( a₁b₁ - a₂b₂ | a₁b₂ + a₂b₁ ) .

e) ( 3 | -4 ) * z = ( 0 | 2 ) ,

f) z² = ( -3 | -4 ) .

2. Wurzeln komplexer Zahlen

2.1 Vorbemerkung zu Wurzeln in R

In der Menge R der reellen Zahlen ist definiert man:

w heißt "(Quadrat-)Wurzel aus r", wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

1. w² = r
2. w > 0

Es ist eine Folge der Vollständigkeit der reellen Zahlen, dass sich jede nicht-negative reelle Zahl als Quadrat einer reellen Zahl schreiben lässt. Für jede nicht-negative reelle Zahl r gibt es also ein w, das die erste Bedingung erfüllt; allerdings hat auch ihre Gegenzahl das Quadrat r. Damit die Wurzel eindeutig wird, man also von der Wurzel sprechen kann, wird der Negativfall für w durch die zweite Bedingung ausgeschlossen.

Zur Erinnerung: Die Wurzel aus a² ist nicht unbedingt a, da a negativ sein kann. Der korrekte Wert für die gesuchte Wurzel ist |a|, also der Abstand, den a auf dem Zahlenstrahl vom Ursprung hat.

2.2 Die Existenz von Wurzeln in C

Auf diese Eindeutigkeit der Wurzel muss in den komplexen Zahlen verzichtet werden, da es keine Anordnung der komplexen Zahlen gibt, bei der die Multiplikation das Monotoniegesetz erfüllt. Man kann also nur von "den Wurzeln" einer komplexen Zahl sprechen und bezeichnet jede komplexe Zahl w, deren Quadrat z ist, als "eine Wurzel von z".

Es ist einfach zu sehen, dass es zu jeder komplexen Zahl z mindestens eine Wurzel gibt, wenn man z mit Hilfe von Polarkoordinaten darstellt.

Legt man zu z = < a | r > die komplexe Zahl w₁ durch w₁ = < a/2 | s > fest, wobei s die (reelle) Wurzel der (positiven rellen) Zahl r ist, dann gilt:

w₁² = < a/2 | s >² = < a/2+a/2 | s² > = < a | r > = z .

Entsprechend sieht man, dass die durch w₂= < a/2+ 180^o | s> festgelegte komplexe Zahl w₂das Quadrat z hat. Wegen der verschiedenen Argumente sind w₁ und w₂ verschieden.

Zu jeder von 0 verschiedenen komplexen Zahl gibt es also mindestens zwei Wurzeln. Andererseits kann es nicht mehr als zwei Wurzeln geben:

Wenn w₁ und w₂ verschiedene Wurzeln von z sind, müssen w₁ und w₂ Gegenzahlen sein, denn

aus w₁² = z und w₂² = z folgt w₁² = w₂².

Somit ist w₁² - w₂² = 0, also folgt nach der dritten binomischen Formel:

( w₁ - w₂ ) * ( w₁ + w₂ ) = 0.

Da der erste Faktor des Produkts nicht 0 sein kann, muss dies für den zweiten gelten; also ist w₁ = - w₂.

Ergebnis: Jede von 0 verschiedene komplexe Zahl hat genau zwei Wurzeln.

2.3 Die Berechnung von Wurzeln in C

wird vielleicht demnächst einmal fortgesetzt.