Integralrechnung

Die Grundaufgabe

Eine Grundaufgabe, die zur Integralrechnung führt, ist die Berechnung des Inhalts eines Flächenstücks, dessen Rand nicht nur aus Strecken besteht. Während sich der Inhalt eines Vielecks - bei gegebenen Koordinaten der Ecken - mit Hilfe einer Zerlegung in Dreiecke leicht berechnen lässt, scheint die Lösung der entsprechenden Aufgabe bei nicht geradlinig berandeten Flächenstücken anfangs allenfalls näherungsweise möglich. Das Ziel ist, den Inhalt einer solchen Fläche zunächst mit einer gewünschten Genauigkeit, also innerhalb einer vorgegebenen Fehlerschranke zu berechnen, möglichst aber natürlich dann exakt anzugeben. Dabei wird zunächst in naiver Weise offen gelassen, ob sich der "Flächeninhalt" überhaupt durch eine reelle Zahl beschreiben lässt.

Einschränkung der betrachteten Funktionen

Nachfolgend werden ausschließlich Funktionen betrachtet, die auf einem abgeschlossenen Intervall [a; b] definiert und beschränkt sind.

Dabei versteht man unter einem abgeschlossenen Intervall [p; q ] die Menge aller reellen Zahlen, die nicht kleiner als p und nicht größer als q sind, also die Menge aller x, welche die Ungleichung p < x < q erfüllen.
Eine über [a; b] definierte Funktion f heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl s gibt, die für alle x aus [a; b] die Ungleichung |f(x)| < s erfüllt.

Zerlegungen eines Intervalls

Unter einer Zerlegung eines Intervalls [a;b] versteht man eine endliche isotone Folge reeller Zahlen, deren erstes Glied a und deren letztes Glied b ist. Die Zerlegung lässt sich also in der folgenden Form darstellen:

a = x₀ < x₁ < x₂ < ...x_n = b .

Damit ergibt sich das gesamte Intervall [a;b] als Vereinigungsmenge aller Teilintervalle [x_i-1 ; x_i ], wobei i die natürlichen Zahlen von 1 bis n durchläuft. Die Länge eines Intervalls [x_i-1 ; x_i ] errechnet sich als x_i -x_i-1; bei der Zerlegung wird keine _{strenge Isotonie verlangt, aufeinanderfolgende Glieder der Zerlegungsfolge müssen nicht immer verschieden sein. Die Teilintervalle können also zu Mengen aus nur einem Punkt ausarten; die Länge dieser Intervalle ist dann natürlich 0.}

Die Länge des größten Teilintervalls bei einer Zerlegung Z = ( x₀, x₁, x₂, ... , x_n ) mit a = x₀ < x₁ < x₂ < ...x_n = b wird als Feinheit der Zerlegung Z bezeichnet.

Zerlegt man das Intervall speziell in n Teilintervalle gleicher Länge, dann wird für i=1, 2, 3, ..., n der i-te Zerlegungspunkt offenbar erhalten als x_i = a + (i-1)^.(b-a)/n .

Beispiele:

1. Eine Zerlegung des Intervalls [1; 3] ist z.B. Z₁ = (1, 1.5, 2, 2.1, 2.8, 2.9, 3),
2. Die Zerlegung von [1; 3] in 5 Teilintervalle gleicher Länge ist Z₂ = (1, 1.4, 1.8, 2.2, 2.6, 3).
Die Feinheit der Zerlegung beträgt im ersten Beispiel 1.5, im zweiten 0.4 .

Unter- und Obersummen

Zu einer auf einem abgeschlossenen Intervall [a; b] definierten Funktion f erklärt man für eine Zerlegung Z von [a; b] die Untersumme von f zur Zerlegung Z (Bezeichnung: U(f, Z) und die Obersumme von f zur Zerlegung Z auf die folgende Weise, wobei der Summationsindex i immer von 1 bis n läuft:

U(f, Z) := Summe( (x_i - x_i-1) ^. inf { f(x) | x aus [x_i-1; x_i] ),

O(f, Z) := Summe( (x_i - x_i-1) ^. sup { f(x) | x aus [x_i-1; x_i] ).

Beispiele: Für die Funktion f mit der Gleichung f(x) = x² ergeben sich folgende Unter bzw. Obersummen:

Bei der Berechnung wurde verwendet, dass der Graph von f (Ein Ausschnitt aus dem rechten Ast der Normalparabel) über dem betrachteten Intervall streng monoton steigt, sein Supremum und sein Infimum also jeweils am rechten bzw. linken Teilintervallende annimmt,

Unter- und Oberintegral

Unter einer Verfeinerung Z₂ einer Zerlegung Z₁ versteht man eine Zerlegung Z₂ des gleichen Intervalls, unter deren Zerlegungspunkten sich alle Zerlegungspunkte von Z₁ befinden. Man kann nun beweisen:

Ist f eine beschränkte Funktion über [a; b] und sind Z₁ und Z₂ Zerlegungen von [a; b], wobei Z₂ eine Verfeinerung von Z₁ ist, dann gilt:

U(f, Z₁) < U(f, Z₂) < O(f, Z₂) < O(f, Z₁) .

Hieraus folgt, dass für beliebige Zerlegungen Z₁ und Z₂ stets U(f, Z₁) < O(f, Z₂) gilt; somit ist die Menge aller Untersummen U(f,Z), wobei Z Zerlegung von [a; b] ist, nach oben durch O(f, Z₁) beschränkt, wobei Z₁ eine beliebige Zerlegung von [a; b] ist. Die Menge U(f) := {U(f,Z) | Z Zerlegung von [a; b]} hat als nicht-leere, nach oben beschränkte Teilmenge von R ein Supremum; der Wert dieses Supremums wird als Unterintegral von f bezeichnet.

Entsprechend definiert man das Oberintegral von f als inf {O(f,Z) | Z Zerlegung von [a; b]}.

Bezeichnung: Wir bezeichnen (hier) das Unterintegral von f mit I_u(f), das Oberintegral von f mit I_o(f).

Das (Riemannsche) Integral

Eine beschränkte Funktion f mit Argumentmenge [a; b] heißt integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral dieser Funktion übereinstimmen. Da das Unterintegral nie größer als das Oberintegral sein kann, ist für die Integrierbarkeit von f also die Gültigkeit der Ungleichung I_u(f) > I_o(f) notwendig und hinreichend.

Zum Nachweis der Integrierbarkeit (oder Nicht-Integrierbarkeit) einer Funktion kann man das folgende Kriterium von Riemann benutzen:

Riemannsches Intagrabilitätskriterium

Eine auf einem abgeschlossenen Intervall definierte, beschränkte Funktion ist genau dann integrierbar, wenn es zu jedem positiven eps eine Zerlegung Z des Argumentintervalls gibt, für welche gilt: O(f, Z) - U(f, Z) < eps.

Der Nachweis ergibt sich fast unmittelbar aus den Definitionen von Integral, Ober- und Unterintegral und Suprmum und Infimum.

Beispiele integrierbarer Funktionen

Sind f und g Funktionen mit der Argumentmenge [a; b], wobei f monoton und g stetig ist, dann sind f und g integrierbar.

Die Beweise erfolgen mit Hilfe des Riemannschen Kriteriums für Integrierbarkeit. Vorgegeben sei also ein positves eps, nachzuweisen ist die Existenz einer Zerlegung Z von [a; b], für welche O(f, Z) - U(f, Z) < eps gilt.

Zum Nachweis der Integrierbarkeit von f wählt man die natürliche Zahl n größer als |f(b)-f(a)| ^. (b-a) / eps und betrachtet die Zerlegung Z von [a; b] in n Teilintervalle gleicher Länge. Nachrechnen ergibt unmittelbar O(f, Z) - U(f, Z) = |f(b)-f(a)| ^. (b-a) / n ; und das ist nach Konstruktion von n kleiner als eps.

Zum Nachweis der Integrierbarkeit von g benötigt man einen Satz über stetige Funktionen: Jede auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion ist dort sogar gleichmäßig stetig, das heißt, zu jedem positiven eps gibt es ein delta, so dass für alle x, y aus dem Argumentintervall, deren Abstand kleiner als delta ist, die Ungleichung |f(x) - f(y)| < eps erfüllt ist. Über einem Intervall einer kleineren Breite als delta unterscheiden sich dann Sumpremum und Infimum von f um weniger als eps, - und damit zeigt man, dass zu vorgegebenem positivem eps1 bei einer Zerlegung in n Teilintervalle gleicher Länge für hinreichend großes n die Ungleichung O(f, Z) - U(f, Z) < eps1 erfüllt ist.

Beispiel einer nicht integrierbaren Funktion

Mit f sei die Funktion auf dem Intervall [0; 1] bezeichnet, die an der Stelle x den Funktionswert 0 für irrationales x und den Funktionswert 1 für rationales x liefert. Dann ist leicht zu zeigen, dass jede Untersumme von f den Wert 0 und jede Obersumme den Wert 1 hat. Für jede Zerlegung Z ist somit O(f, Z) - U(f, Z) = 1; das Integrabilitätskriterium von Riemann wird also von f nicht erfüllt.

Berechnung des Integrals einer Potenzfunktion

In Vorbereitung sind die folgenden Abschnitte

Näherungsweise Berechnung von Integralen

Eigenschaften des Integrals

Integralfunktionen

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Beispiele von Integralberechnungen