Das Lösen von (Bestimmungs-) Gleichungen
0.0 Die Eigenschaften der Gleichheitsrelation
0.3 Das Äquivalenzprinzip; zulässige Umformungen einer Gleichung
0.4 Die Lösung der linearen Gleichung ax + b = c
1.1.1 Das Diskriminantenverfahren
1.1.2 Das Faktorisierungsverfahren
2. Gleichungen n-ten Grades ( n > 1)
2.0.1 Polynomdivision durch einen linearen Faktor
2.1.1 Das Ermitteln einer oder mehrerer ganzzahliger Lösungen
2.2 Approximative Lösungsverfahren
2.2.0 Der Nullstellensatz für Polynome
2.2.1 Das Verfahren der fortgesetzten Intervallhalbierung
2.2.3 Die Anwendung des Fixpunktsatzes
0.0 Die Eigenschaften der Gleichheitsrelation
Eigenschaften der Gleichheitsrelation sind Reflexivität, Symmetrie, und Transitivität. Eine Relation mit diesen drei Eigenschaften wird als Äquivalenzrelation bezeichnet; für alle reellen Zahlen a, b, c gilt:
a = a (Reflexivität), aus a = b folgt b = a (Symmetrie), aus a = b und b = c folgt a = c (Transitivität)
Die Gleichheitsrelation ist nicht nur eine Äquivalenzrelation, sondern sogar eine Kongruenzrelation, sie bleibt bei Anwendung der Grundrechenarten Addition und Multiplikation bestehen:
Aus a = b folgt sowohl a + c = b + c als auch a c = b c.
Formal entsteht eine Gleichung, indem zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden werden, wobei die Bedeutung der Gleichung erst durch den Kontext deutlich wird. Zu unterscheiden ist zwischen einer Gleichung als Aussage, wie sie innerhalb von Beweisführungen oder rechnerischen Herleitungen auftritt, und einer Gleichung als Problemstellung, wobei gefragt wird, für welchen Einsetzungen der Platzhalter eine richtige Aussage entsteht.
So stellt die Gleichung x = 3 je nach Bedeutung von x eine falsche Aussage oder eine nach Lösung suchende Aussageform dar. Wenn x den Wert 44 hat, ist die Aussage sicher falsch; deutet man die Gleichung als Frage nach der Menge aller Zahlen, deren Einsetzung für x zu einer richtigen Aussage führt, hat man eine Gleichung mit der Lösungsmenge { 3 }.
Die Gleichung a2 + b2 = c2 ist ohne Kontext weder richtig noch falsch, sondern genauso sinnvoll wie die Gleichung a = b; setzt man zusätzlich voraus, dass a, b, c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks sind, dann liegt eine richtige Aussage vor, falls c die größte der drei Zahlen ist.
Gleichungen, die allgemeingültig sind, also für jede Einsetzung der Platzhalter eine richtige Aussage ergeben, also zu den Formeln zählen, heißen Identitäten; z.B. ist x + x = 2x eine solche (ziemlich triviale) Identität oder - etwas komplizierter - die für alle reellen Zahlen außer 1 und für alle natürlichen Zahlen n gültige Formel:
1 + x + x2 + x3 + x4 + ... + xn = (xn+1 - 1) / (x-1) .Weitere besonders wichtige Identitäten sind die in 0.2 angegebenen binomischen Formeln.
Neben den Bestimmungsgleichungen und Identitäten stellen die - hier nicht behandelten - Funktionalgleichungen und Differentialgleichungen einen wichtigen Bereich der Gleichungen dar; z.B. hat die Exponentialfunktion mit der Anfangsbedingung f(0) = 1
die Funktionalgleichung f(x+y) = f(x) + f(y)
und die Differentialgleichung f'(x) = f(x) .In jedem kommutativen Ring (also jeder Menge, die bezüglich der Addition eine kommutative Gruppe bildet, in der eine Multiplikation erklärt ist, die kommutativ und assoziativ ist, und wo das Distributivgesetz gilt), also zum Beispiel in der Menge der reellen Zahlen gelten die folgenden binomischen Formeln:
(I) a2 + b2 + 2ab = ( a + b )2
(II) a2 + b2 - 2ab = ( a - b )2
(III) a2 - b2 = ( a - b ) * ( a + b ).Zum Nachweis braucht man nur jeweils auf der rechten Seite die Klammern aufzulösen. Wichtig ist bei diesen Formeln, dass man sie ausgehend von der linken Seite anwendet, also erkennen muss, wo sie gebraucht werden können. Die schulübliche Form der Erlernens, bei der mit den jeweiligen Klammerausdrücken begonnen wird, ist ebenso beliebt wie nutzlos, da hierdurch allenfalls ein Rechenschritt gespart werden kann, aber keine Ausdrücke strukturiert werden können.
Beispiele von Ausdrücken, die sich durch die Anwendung einer binomischen Formel faktorisieren lassen: 12321 - 4x2 , 9x2 - 3x + 0,25 , 3a2 + 12 + 6a .
0.3 Das Äquivalenzprinzip; zulässige Umformungen einer Gleichung
Eines der wichtigsten Prinzipien der Mathematik lautet:
Wenn du die Lösung einer Aufgabe nicht unmittelbar ablesen kannst, forme sie so um, dass sich zwar die Lösung nicht verändert, die Aufgabe aber einfacher geworden ist. Derartige Umformungen heißen Äquivalenzumformungen oder zulässige Umformungen.
Die beiden zulässigen Umformungen einer Gleichung sind
- Addition der gleichen Zahl (oder des gleichen Terms) zu beiden Seiten
- Multiplikation beider Seiten mit der gleichen von null verschiedenen Zahl (oder mit dem gleichen Term, falls dieser nicht den Wert null hat).
Denn wenn z eine Lösung der Gleichung A(x) = B(x) ist, wobei A() und B() irgendwelche Terme sind, dann gilt A(z) = B(z), also für beliebige reelle Zahlen p und q auch
A(z) + p = B(z) + p und q * A(z) = q * B(z).Somit ist z auch Lösung der Gleichungen A(x)+p = B(x)+p und q*A(x) = q*B(x). Die Lösungsmenge der neuen Gleichungen wird also durch die Umformung nicht kleiner. Bezeichnet man die gesuchte Lösungsmenge mit L und die zu den neuen Gleichungen gehörenden Lösungsmengen mit L1 und L2, so ist also L Teilmenge von L1 und Teilmenge von L2. Da die Addition von -p nach der gleichen Überlegung nicht zu einer Verkleinerung von L1 führt, sind L und L1 Teilmengen voneinander, also ist L = L1 . Nach der entsprechenden Überlegung für die Multiplikation mit dem Kehrwert von q (und dafür darf jetzt q nicht null sein!!) erhält man L = L2 . Damit sind beide oben angegebenen Umformungen als zulässig nachgewiesen: Die Lösungsmenge bleibt gleich.
0.4 Die Lösung der linearen Gleichung ax + b = c
Durch Addition von -b erhält man die äquivalente Gleichung ax = c - b .
Falls nun a verschieden von null ist, ergibt die Multiplikation mit dem Kehrwert von a die Gleichung x = (c-b)/a; die Lösungsmenge ist also L = { (c-b)/a }.
Ist dagegen a = 0, so ist die zu lösende Gleichung 0*x = c - b. Das ist allgemeingültig, falls b=c gilt, andernfalls unerfüllbar. Damit hat man für den Fall a=0 die Lösungen
L = R, falls b=c, andernfalls L = {}.
0.5.0 Lösen durch Zerlegung in nicht-negative Summanden
Wenn die linke Seite einer Gleichung der Form A(x) = 0 sich als Summe von nicht-negativen Summanden darstellen lässt, wird die Gleichung nur für den Fall erfüllt, dass alle Summenden den Wert null haben:
x2 + (4x - 4711)2 + (12x7 + 5x -1001)4 + | x-22 | = 0
Die linke Seite ist die Summe von vier Summanden, die alle nicht negativ sein können. Damit die Summe den Wert 0 hat, müssen alle Summanden diesen Wert haben, also z.B. x2 und | x - 22 | . Da dies offenbar nicht möglich ist ( es müsste gelten x = 0 und x = 22), ist L = {}.
Die Gleichung (4x - 4712)2 + (3x - 3534)2 = 0 hat - wie die entsprechende Überlegung zeigt - die Lösungsmenge L = {1178}.
Die Gleichung 9x2 - 60x + 100,01 = 0 hat die Lösungsmenge {}, wie die Umformung zu (3x-10)2 + 0,01 = 0 deutlich macht.
0.5.1 Lösen durch Faktorisieren
Die Idealform zum Lösen einer Gleichung sieht so aus, dass auf der rechten Seite der Gleichung eine 0, auf der linken Seite ein Produkt aus möglichst einfachen Faktoren steht. Denn ein Produkt wird genau dann null, wenn einer der Faktoren den Wert null hat, und die Faktoren sind im allgemeinen wesentlich einfacher als das Produkt.
So sind die folgenden Gleichungen (1) und (2) zwar äquivalent, wie man leicht durch Ausmultiplizieren von (1) bestätigt, aber nur bei (1) lässt sich sofort gemäß 0.4 die Lösungsmenge ablesen:
(1) ( 2x - 4 )*( x - 3 )*( x + 9 )*( x2 +144 ) = 0 ,
(2) 15552 - 11232 x + 1260 x2 + 210 x3 + 8 x4 + 2 x5 = 0.
Offensichtlich ist L = { -9; 2; 3 }.
1.0.0 Die Normalform einer quadratischen Gleichung
Eine Gleichung heißt quadratisch, wenn sie sich auf die folgende Form bringen lässt: ax2 + bx + c = 0, wobei a, b, c irgendwelche reellen Zahlen sind. Falls der Koeffizient a den Wert 0 hat, ist die Gleichung nicht quadratisch, sondern nur linear, das sie sich auf die Form bx+c=0 reduziert; diese Form der Gleichung ist bereits unter 0.4 behandelt worden.
Die quadratische Gleichung heißt normiert, wenn a = 1 gilt. Jede quadratische Gleichung lässt sich normieren, indem man sie durch den Koeffizienten von x2 dividiert. Mit p = b/a und q = c/a erhält man dann die Normalform der quadratischen Gleichung:
x2 + px + q = 0 .
Zum Lösen jeder quadratischen Gleichung genügt es also, ein Verfahren zum Lösen von quadratischen Gleichungen in Normalform zu beherrschen; ein solches wird in 1.1.1 dargestellt.
1.0.1 Definition und Existenz von Wurzeln
Wenn a und b reelle Zahlen sind, wird folgender Sachverhalt gemeint, wenn man sagt a ist die Wurzel aus b:
- a ist eine reelle nicht-negative Zahl
- a2 = b .
Die Zahl b wird als Radikand bezeichnet; aufgrund der Definition kann weder a noch b negativ sein. Es ist eine wesentliche Eigenschaft der reellen Zahlen gegenüber den rationalen Zahlen, dass es zu jeder nicht-negativen reellen Zahl eine Wurzel gibt.
Die Wurzel aus einer nicht-negativen reellen Zahl ist stets eindeutig bestimmt; der gelegentlich verwendete Begriff "negative Wurzel" für die Gegenzahl zu einer Wurzel ist fehlerhaft. Die Eindeutigkeit der Wurzel ergibt sich z.B. aus folgender Überlegung: Wenn a1 und a2 beides Wurzeln aus b sind, dann muss gelten a12 = b und a22 = b, also a12 = a22 . Dann folgt a12 - a22 = 0, also nach der dritten binomischen Formel:
( a1 - a2 ) * ( a1 + a2 ) = 0 .
Da a1 und a2 beide positiv sind, kann a1 + a2 nicht null sein, also folgt, dass a1 - a2 = 0 gilt; mithin ist a1 = a2. Die Wurzel ist also eindeutig bestimmt.
1.1.1 Das Diskriminantenverfahren
In der nachfolgend dargestellten Form bezieht sich das Diskriminantenverfahren grundsätzlich auf eine quadratische Gleichung, die in Normalform gegeben ist. Dies Normalform lautet x2 + px + q = 0.
1.1.1.1 Herleitung des Diskriminantenverfahrens
Der Term auf der linken Seite der quadratischen Gleichung wird so umgeformt, dass man einen Teil nach der ersten binomischen Formel zusammenfassen kann:
x2 + px + (p/2)2 - (p/2)2 + q = 0 ,
( x + p/2 )2 - ( p2/4 - q) = 0 .
Mit der Abkürzung D := p2/4 - q hat die quadratische Gleichung die Form
( x + p/2 )2 - D = 0 .
Wenn nun D negativ ist, steht auf der linken Seite der Gleichung die Summe aus einem quadratischen, also nicht negativen Ausdruck und der positiven Zahl -D. Da diese Summe stets positiv ist, kann die Gleichung von keinem Wert von x erfüllt werden; es gibt also keine Lösungen.
Wenn D den Wert null hat, vereinfacht sich die Gleichung zu
( x + p/2 )2 = 0 .
Da 0 die einzige Zahl ist, deren Quadrat den Wert null hat, ist dies äquivalent zu x + p/2 = 0; die Gleichung hat in diesem Fall also genau eine Lösung, nämlich -p/2 .
Wenn D eine positive Zahl ist, lässt sich D als Quadrat einer positiven Zahl (der Wurzel aus D) darstellen, die hier einmal mit w bezeichnet wird. Die zu lösende Gleichung lautet dann
( x + p/2 )2 - w2 = 0 .
Nach der dritten binomischen Formel ist das äquivalent zu
( x + p/2 + w ) * ( x + p/2 - w ) = 0 .
Das Produkt auf der linken Seite wird genau dann null, wenn dies für einen der Faktoren gilt, also wenn x einen der beiden Werte -p/2 - w und -p/2 + w annimmt. Die quadratische Gleichung hat in diesem Fall also genau zwei Lösungen.
1.1.1.2 Anwendung des Diskriminantenverfahrens
Um eine quadratische Gleichung mit Hilfe des Diskriminantenverfahrens zu lösen, führt man zunächst die folgenden beiden Schritte durch:
- Die Gleichung wird auf Normalform gebracht.
- Die Diskriminante D wird berechnet.
Wenn D negativ ist, ist man schon fertig mit der Berechnung, denn dann gilt L = {}; es gibt keine Lösungen.
Ist D = 0, dann hat man L = { -p/2 };
Wenn D positiv ist, berechnet man die Wurzel aus D (hier mit w bezeichnet) und hat L = { -p/2 - w; -p/2 + w } .
Hilfreiche Hinweise und Warnungen
Kaum einer wird bei einer Busfahrt die Unterscheidung zwischen den Linien 212 und 221 für unwesentlich halten oder beim Einsteigen nur auf die Nummer der Buslinie und nicht auch die Fahrtrichtung achten. Dagegen ist beim Lösen quadratischer Gleichungen die entsprechende Nachlässigkeit weit verbreitet. Bevor nicht durch ausreichende Übung wirkliche Sicherheit beim Lösen quadratischer Gleichungen hergestellt ist, sollte bei Gleichungen mit nicht-leerer Lösungsmenge das Ergebnis auf jeden Fall durch eine Probe kontrolliert werden.
1.1.2 Das Faktorisierungsverfahren
Die Idee der Faktorisierung von Termen auf der linken Seite einer Gleichung, auf deren rechter Seite 0 steht, beruht darauf, dass ein Produkt im allgemeinen unzugänglicher als die einzelnen Faktoren ist, und dass es genau dann den Wert null annimmt, wenn dies für einen der Faktoren gilt. Die Form einer Gleichung, bei der die linke Seite in Faktoren zerlegt ist und rechts eine Null steht, ist daher - wie schon in 0.5.1 dargestellt - in gewisser Weise ideal.
1.1.2.0 Der Vieta'sche Wurzelsatz
Wenn die Gleichung x2 + px + q = 0 eine positive Diskriminante D hat, dann sind mit D = w2 die beiden Lösungen gegeben durch
x1 = -p/2 - w und x2 = -p/2 + w .
Dann ist
x1 + x2 = -p/2 - w + ( -p/2) + w = -p,
x1 * x2 = (-p/2 - w)(-p/2 + w )
= p2/4 - w2 = p2/4 - D = q .Damit hat man die Aussage des Vieta'schen Wurzelsatzes: Wenn die Gleichung x2 + px + q = 0 zwei Lösungen hat, dann ist die Summe dieser Lösungen -p und ihr Produkt ist q.
Es gilt aber auch die umgekehrte Aussage: Wenn für die reellen Zahlen x1, x2, p und q die Gleichungen
x1 + x2 = - p und x1 * x2 = q
gelten, dann sind x1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0.
Denn Einsetzen liefert
x2 - ( x1 + x2 )*x + x1 * x2 = 0,
was äquivalent zur folgenden Gleichung ist:
( x - x1 ) * ( x - x2 ) = 0 ,
wie man leicht durch Ausmultiplizieren der linken Seite bestätigt. An der Faktorform ist aber unmittelbar abzulesen, dass x1 und x2 Lösungen der quadratischen Gleichung - und zwar die einzigen - sind.
1.1.2.1 Das Erraten der (ganzzahligen) Lösungen
Wenn beide Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung ebenso wie die Koeffizienten p und q der Normalform der Gleichung ganzzahlig sind, lassen x1 und x2 leicht "erraten". Denn unter den wenigen Möglichkeiten, q als Produkt zweier ganzzahliger Faktoren darzustellen, muss man nur diejenige auswählen, bei der die Summe der beiden Faktoren -p ergibt.
Beispiel: x2 - 5x - 14 = 0.
Unter den Zerlegungen von -14 in zwei ganzzahlige Faktoren ist diejenige zu finden, bei der die Summe der Faktoren 5 ist. Da das Produkt negativ ist, kommen nur Faktoren mit entgegengesetzten Vorzeichen in Frage; da die Summe positiv ist, muss der betraglich größere Faktor der positive sein. Damit bleiben nur die Zerlegungen 14*(-1) und 7*(-2); damit hat man die Lösungen -2 und 7.
2. Gleichungen n-ten Grades ( n > 1)
In Vorbereitung
2.0.1 Polynomdivision durch einen linearen Faktor
In Vorbereitung
2.1.1 Das Ermitteln einer oder mehrerer ganzzahliger Lösungen
2.2 Approximative Lösungsverfahren
In Vorbereitung
2.2.0 Der Nullstellensatz für Polynome