Gerade und ungerade Funktionen - Definitionen und Eigenschaften (S. V.)
Definition gerade:
Voraussetzung: f: R--> R (oder [-b, b] --> R)
f heißt gerade, wenn für alle x aus dem Definitionsbereich von f gilt: f(-x) = f(x).
Geometrische Bedeutung:
Der Graph von f verläuft symmetrisch zur y-Achse.
Beispiele:
cos, Betragsfunktion, cosh, f(x)= a*x^2 + b, g(x)= (r^2-x^2)^0.5
Definition ungerade:
Voraussetzung: g: R--> R (oder [-b, b] --> R)
g heißt ungerade, wenn für alle x aus dem Definitionsbereich von g gilt: g(-x) = -g(x).
Geometrische Bedeutung:
Der Graph von g verläuft symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems.
Beispiele:
sin, sinh, tan, f(x) = 2x^3 - 4x,
Eigenschaften von geraden und ungeraden Funktionen:
(1) Was passiert beim Verketten einer beliebigen Funktion f mit einer geraden Funktion g?
Voraussetzung: f beliebig, g gerade, h = f o g, d.h. für alle x gilt h(x) = f(g(x))
Behauptung: h ist gerade.
Beweis: zu zeigen: h(-x) = h(x).
h(-x) = f(g(-x)) = f(g(x)) = h(x), also h(-x) = h(x).
(2) Was passiert beim Verketten einer geraden Funktion f mit einer ungeraden Funktion g?
Voraussetzung: f gerade, g ungerade, h= f o g .
Behauptung: h ist gerade
Beweis: zu zeigen: h(-x) = h(x).
h(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x)) = h(x), also h(-x) = h(x).
(2') Was passiert beim Verketten einer ungeraden Funktion f mit einer ungeraden Funktion g?
Voraussetzung: f ungerade, g ungerade, h = f o g .
Behauptung: h ist ungerade
Beweis: zu zeigen: h(-x) = -h(x).
h(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x)) = -f(g(x)) = -h(x), also h(-x) = -h(x).
(3) Was lässt sich über die Summe von zwei geraden Funktionen sagen?
Voraussetzung: f, g gerade
Behauptung: f + g ist gerade
Beweis: zu zeigen: (f+g)(-x) = (f+g);
(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x); also (f + g)(-x) = (f+g)(x).
(4) Was lässt sich über die Summe von zwei ungeraden Funktionen sagen?
Voraussetzung: f, g ungerade
Behauptung: f + g ist ungerade.
Beweis: zu zeigen: (f+g)(-x) = -((f+g)(x))
(f+g)(-x) = f(-x)+g(-x) = -f(x)-g(x) = -(f(x)+g(x)) = -((f+g)(x));
also (f+g)(-x) = -((f+g)(x)).
(5) Was passiert beim Multiplizieren von einer geraden Funktion mit einer reellen Zahl?
Voraussetzung: f gerade, r aus R
Behauptung: r * f ist gerade.
Beweis: zu zeigen: (r * f)(-x) = (r * f)(x).
(r * f)(-x) = r * f(-x) = r * f(x) = (r * f)(x)
(6) Was passiert beim Multiplizieren einer ungeraden Funktion mit einer reellen Zahl?
Voraussetzung: f ungerade, r aus R
Behauptung: r * f ist ungerade.
Beweis: zu zeigen: (r * f)(-x)= -((r * f)(x)).
(r * f)(-x) = r * f(-x) = r * (-f(x)) = -(r * f(x)) = -((r*f)(x)),
also (r * f)(-x) = -((r * f)(x)).
(7) Was passiert beim Multiplizieren von zwei geraden Funktionen?
Voraussetzung: f, g gerade
Behauptung: f * g ist gerade.
Beweis: zu zeigen: (f * g)(-x) = (f * g)(x).
(f * g)(-x) = f(-x) * g(-x) = f(x) * g(x) = (f * g)(x),
also (f * g)(-x) = (f * g)(x).
(8) Was passiert beim Multiplizieren von zwei ungeraden Funktionen?
Voraussetzung: f, g ungerade
Behauptung: f * g ist gerade.
Beweis: zu zeigen: (f * g)(-x) = (f * g)(x).
(f * g)(-x) = f(-x) * g(-x)= (-f(x)) * (-g(x)) = f(x) * g(x) = (f*g)(x),
also (f * g)(-x) = (f * g)(x).
(9) Was passiert beim Multiplizieren von einer geraden und einer ungeraden Funktion?
Voraussetzung: f gerade, g ungerade
Behauptung: f * g ist ungerade.
Beweis: zu zeigen: (f * g)(-x) = -((f * g)(x)).
(f * g)(-x) = f(-x) * g(-x) = f(x) * (-g(x)) = -(f(x) * g(x)) = -((f * g)(x)),
also (f * g)(-x) = -((f * g)(x)).
(10) Was gilt, wenn eine Funktion zugleich gerade und ungerade ist?
Voraussetzung: f sowohl gerade als auch ungerade
Behauptung: Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt f(x)=0.
Beweis: f(x)= f(-x)= -f(x),
also f(x)= -f(x)
und somit f(x)= 0 .
(11) Was folgt, wenn die Summe einer geraden und ungeraden Funktion mit der einer anderen
geraden und ungeraden Funktion übereinstimmt?
Voraussetzung: f, g gerade; h, i ungerade
f + h = g + i
Behauptung: f = g; h = i
Beweis: f - g = i - h; f - g ist gerade (nach (3) und (5)), i - h ist ungerade (nach (4) und (6))
daher folgt (nach 10)): f - g = o, i - h = o, wobei o die Nullfunktion ist.
Somit ergibt sich f = g, i = h .
(12) Lässt sich jede auf einem symmetrischen Intervall um 0 definierte Funktion h als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen?
Voraussetzung: a aus R+ ; h: [-a; a] --> R
Behauptung: Es gibt Funktionen f:[-a; a] --> R, gerade und g:[-a; a] --> R, ungerade,
so dass h = f + g gilt.
Beweis: Setze f = 1/2 * ( h(x) + h(-x) )
g = 1/2 * ( h(x) - h(-x) ).
Dann ist f ist gerade, denn
f(-x)=1/2 * ( h(-x) + h(-(-x)) )
=1/2 * ( h(-x) + h(x) )
=1/2 * ( h(x) + h(-x) )
= f(x)
g ist ungerade, denn
g(-x)=1/2 * ( h(-x) - h(x) )
= -1/2 * ( h(x) - h(-x) )
=-g(x)
f(x) + g(x) =1/2 * ( h(x) + h(-x) ) + 1/2 * ( h(x) - h(-x) )
=1/2 * h(x) + 1/2 * h(-x) + 1/2 * h(x) - 1/2 * h(-x)
=h(x)
Folgerung: Jede Funktion lässt sich als Sunme einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen.
Es gibt hierbei jeweils nur eine Möglichkeit der Zerlegung in Summanden.
Bezeichnung: Man bezeichnet die bei der angegebenen Zerlegung der Funktion h auftretenden Summanden
als geraden und ungeraden Bestandteil von h.
Beispiel:
Gerader Bestandteil von exp:
f(x) = 1/2 * ( exp(x) + exp(-x) ) = cosh(x)
Ungerader Bestandteil von exp:
g(x) = 1/2 * ( exp(x) - exp(-x) ) = sinh(x)
f + g = exp; gerader und ungerad
Welche Eigenschaften haben die Ableitungen gerader/ ungerader Funktionen ?
Voraussetzung: a aus R+, f : [ -a; a ]--> R, ungerade, differenzierbar
Behauptung: f gerade.
Beweis: zu zeigen: f(x)= f(-x).
f(-x) = -f(x) (nach Vor.)
Ableiten: f(-x) * (-1) = -f(x)
f(-x) = f(x) .
Voraussetzung: a aus R+, f : [ -a; a ] --> R, gerade, differenzierbar
Behauptung: f ist ungerade.
Beweis: zu zeigen: f(-x) = -f(x)
f(-x) = f(x) (nach Vor.)
Ableiten: f(-x) * (-1) = f(x)
f(-x) = -f(x) .
Beim Ableiten gehen also gerade Funktionen in ungerade und ungerade Funktionen in gerade über.
Folgerungen: Wenn eine Funktion ungerade ist, dann ist ihre i-te Ableitung ungerade für i = 2n
(n aus N*, d.h. i ist eine gerade Zahl) und gerade für i = 2n-1 ( n aus N*, d.h. i ist eine
ungerade Zahl).
Wenn eine Funktion gerade ist, dann ist ihre i-te Ableitung gerade für i = 2n
(n aus N*, d.h. i ist eine gerade Zahl) und ungerade für i = 2n-1 (n aus N*, d.h. i ist eine
ungerade Zahl).