Jeder reellen Zahl entspricht ein Punkt auf einer orientierten Geraden, auf der ein Einheitspunkt und ein davon verschiedener Nullpunkt festgelegt sind, also z.B. auf dem - um die negativen Zahlen nach links ergänzten - Zahlenstrahl. Den Abstand, den die reelle Zahl a vom Nullpunkt, dem Ursprung O hat, bezeichnet man als Betrag von a, in mathematischer Notation |a|. Für nicht-negative Zahlen ist das nichts anderes als die Zahl a selber; falls a negativ ist, erhält man den Abstand von O durch Bilden der Gegenzahl; -3 hat von O den Abstand 3, nämlich -(-3). Der Betrag ist daher wie folgt zu definieren:

Definition: Für a aus R setzt man |a| := a, falls a > 0, andernfalls |a| := -a .

Für das Rechnen mit Beträgen weist man die folgenden Regeln nach:

|a| ist nie negativ; genau dann gilt |a| = 0, wenn a = 0 ist;

| a b | = |a| |b|,

| a + b | < |a| + |b| (Summenungleichung).

Will man in einem Rechenausdruck Betragzeichen auflösen, muss man prüfen, ob der Ausdruck zwischen den Betragstrichen negativ ist oder nicht. Ist der Ausdruck offensichtlich nicht negativ, kann man die Betragstriche einfach weglassen wie in folgenden Beispielen:

| 112 | = 112;

| x² | = x²;

| x² + 6x + 9 | = x² + 6x + 9;

| 1 + cos(x) | = 1 + cos(x) .

Entsprechend kann man die Betragsstriche bei einem nicht-positiven Ausdruck auflösen, indem man zum (-1)-fachen des Ausdrucks zwischen den Betragzeichen übergeht; Beispiele sind:

| - 111 | = 111;

| sin(x) - 2 | = 2 - sin(x);

| -x² + 8x - 17 | = x² - 8x + 17 .

Meistens steht aber zwischen den Betragstrichen ein Ausdruck, von dem man nicht sagen kann, ob er positiv oder negativ ist; andernfalls hätte man die Betragstriche ja weglassen bzw. durch den Faktor -1 ersetzen können. In diesem Fall muss man beide Möglichkeiten (negativ oder nicht-negativ) berücksichtigen. Beispielsweise ist die Gleichung | 2x + 1 | = 21 erfüllt, wenn 2x + 1 den Wert 21 oder den Wert -21 hat. Im ersten Fall ist x = 10, im zweiten ist x = -11; die Lösung dieser Gleichung ist also L = { -11; 10 }.

Die Vorgehensweise beim Lösen von Gleichungen oder Ungleichungen mit Beträgen wird nachfolgend an Beispielen aus einer Hausaufgabe des Kurses 12M zum 24.09.2004 erläutert. Dort lautet die erste Aufgabe:

Bestimme zu den folgenden Gleichungen bzw. Ungleichungen die Lösungsmengen:

|x| + |x-1| = 3

|x-1| + |x+1| < 8

|x² - 4x - 22| = 10

Lösung zu 1.

Da x-1 kleiner als x ist, gibt es drei Fälle zu unterscheiden:

• x und x-1 sind beide nicht negativ, also x > 1;
• nur x-1 ist negativ, also 0 < x < 1;
• x-1 und x sind beide negativ, also x < 0.

Im ersten Fall wird aus der Gleichung: x + x-1 = 3, also x = 2;

im zweiten Fall wird aus der Gleichung x + 1-x = 3, was offenbar unerfüllbar ist;

im dritten Fall erhält man -x + 1 - x = 3, also x = - 1.

Als Lösungsmenge ergibt sich daher L = { -1; 2}.

Lösung zu 2.

Da x-1 kleiner als x+1 ist, gibt es drei Fälle:

• x-1 und x +1 sind beide nicht negativ, also x > 1;
• x-1 ist negativ und x+1 ist positiv, also -1 < x < 1;
• x-1 und x+1 sind beide negativ, also x < -1 .

Im ersten Fall wird aus der Ungleichung: x-1 + x+1 < 8, also x < 4; dies liefert: x aus [ 1; 4 [ ;

im zweiten Fall wird aus der Ungleichung -x + 1 + x+1 < 8, was offenbar richtig ist; also gehören alle:x aus [ -1; 1[ zur Lösungsmenge;

im dritten Fall erhält man -x + 1 - x - 1 < 8, also x > - 4; das ist erfüllt für x aus ] -4; -1[

Als Lösungsmenge ergibt sich daher L = ] -4; 4 [ .

Lösung zu 3.

Zu untersuchen sind die beiden quadratischen Gleichungen

x² - 4x - 22 = 10

x² - 4x - 22 = -10

Als Lösungsmenge der ersten Gleichung ergibt sich { -4; 8 }, die Lösungen der zweiten Gleichung sind -2 und 6.

Die gesuchte Lösungsmenge ist daher L = { -4; -2; 6; 8 } .